分段测地线Jordan曲线II：Loewner能量、射影结构和辅助参数

本文考虑黎曼球面上经过$n \ge 3$个给定点的Jordan曲线。我们证明，在此类曲线的每个相对同位类中，存在唯一一条最小化Loewner能量的曲线。这些曲线具有以下性质：每两个连续点之间的弧是其他弧所围区域中的双曲测地线。这一测地线性质使我们能够定义一个复射影结构，其和乐群位于$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$中。我们证明，比较该射影结构与球面上平凡射影结构的二次微分具有简单极点，其留数（辅助参数）由最小Loewner能量的Wirtinger导数给出。这让人联想到Takhtajan和Zograf证明的关于Fuchs射影结构的Polyakov猜想。最后，我们证明我们得到的射影结构通过$\pi$-嫁接与Fuchs射影结构相关。