通过共形焊接与流线看 Loewner 能量与 Dirichlet 能量的相互作用
复变函数
2024-02-06 v2 概率论
摘要
Jordan 曲线的 Loewner 能量是其 Loewner 驱动项的 Dirichlet 能量。它有限当且仅当该曲线为 Weil-Petersson 拟圆。本文中，我们描述平面上有限 Dirichlet 能量函数的切割与焊接操作，从而可用 Dirichlet 能量耗散表达 Loewner 能量。我们证明单位向量场流线的 Loewner 能量等于调和延拓绕角的 Dirichlet 能量。我们还给出一个涉及有限 Dirichlet 能量复值函数的恒等式，同时表达焊接与流线恒等式。作为应用，我们证明两域的弧长等距焊接在能量上亚可加，且单连通域中等势线的能量单调。我们的主要恒等式可视为 Schramm-Loewner 演化曲线与高斯自由场焊接及流线耦合的作用泛函类比。
引用
@article{arxiv.1903.08525,
title = {Interplay between Loewner and Dirichlet energies via conformal welding and flow-lines},
author = {Fredrik Viklund and Yilin Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1903.08525},
year = {2024}
}
备注
28 pages, 3 figures. Minor revision according to referees' report