关于焊接同胚的Loewner能量

对于任何Jordan曲线，可以通过共形焊接关联一个圆周同胚$\varphi : \mathbb S^1 \to \mathbb S^1$。通过这种对应，Loewner能量$I^L$，也称为通用Liouville作用，是通用Teichmüller空间上唯一齐次Kähler度量的Kähler势。尽管如此，仅用$\varphi$表示的$I^L$的显式表达式在文献中似乎并未出现。在本文中，我们获得了这样的公式。为此，我们引入了一个算子${\bf \Lambda}_\varphi$，它使用函数$$(z,w) \mapsto \log \left|\frac{\varphi(z)-\varphi(w)}{z-w}\right|, \qquad (z,w) \in \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$$的傅里叶系数定义。我们将${\bf \Lambda}_\varphi$与单层势和复合算子联系起来，并证明了拟对称$\varphi$的经典Grunsky不等式的一个类比。我们进一步表明，$\varphi$是Weil-Petersson的当且仅当${\bf \Lambda}_\varphi$是Hilbert-Schmidt的，并且我们将$I^L$表示为几个相关的Fredholm行列式以及一个正则化的Fredholm行列式。我们还处理了Schatten类，并获得了涉及$\log \varphi'$的Dirichlet积分以及由$\varphi$诱导的复合算子的公式。