通过 WKB 函数的一致化构造 Wigner 方程的近似解

本文构造 Wigner 方程以 Airy 函数表示的近似级数解，这些函数在半经典意义上集中于二维相空间中的某些 Lagrangian 曲线上。这些曲线由相关一维 Schrödinger 算符的特征值和 Hamilton 函数定义，在相空间的量子干涉机制中起关键作用。假设 Schrödinger 算符的势为单势阱，使得其谱是离散的。该构造从解的本征函数级数展开出发，通过将分离变量基本技巧与 Moyal 星指数算符的相关谱结果相结合，首次以系统化方式推导出该展开。Wigner 方程的本征函数是 Schrödinger 本征函数的 Wigner 变换，通过对 Schrödinger 本征函数 WKB 展开的 Wigner 变换进行一致稳相近似，用 Airy 函数对其进行了近似。本征函数级数的近似即为 Wigner 方程的一个近似解，通过将其投影到位形空间，提供了一个无转折点奇点的近似波幅。通常预期，所推导的波幅是有界且尺度正确的，即使在焦散处也是如此，因为对于具有有限能量的 WKB 初始波函数，近似项中仅有有限项是显著的。为了能够解析地检验我们的近似，文中给出了谐振子简单势的计算细节。但是，同样的构造也可应用于在势阱底部行为类似于谐振子的任何势阱。