信息几何、Jordan 代数与一种类余伴随轨道构造

Jordan 代数在（量子）信息几何中自然出现，我们欲在此框架内理解其角色与结构。受 Kirillov 关于余伴随轨道上辛结构讨论的启发，我们在实 Jordan 代数情形给出类似构造。给定实有限维形式实 Jordan 代数 ${\mathcal J}$，我们利用由对偶 ${\mathcal J}^{\star}$ 上 Jordan 乘积决定的广义分布，在该分布的叶上诱导伪黎曼度量张量。特别地，这些叶是一个李群（即 ${\mathcal J}$ 的结构群）的轨道，与余伴随轨道情形有明显类比。然而，与李代数情形相反，我们证明并非 ${\mathcal J}^{*}$ 中所有点都位于标准 Jordan 分布的叶上。当叶含于 ${\mathcal J}$ 上正线性泛函的锥中时，伪黎曼结构变为黎曼结构，且对适当选取的 ${\mathcal J}$，其与有限样本空间上非归一化概率分布的 Fisher-Rao 度量，或非归一化、忠实量子态的有限能级量子系统的 Bures-Helstrom 度量一致，从而显示 Jordan 代数数学与经典及量子信息几何的直接联系。