环上的 Albert 代数与相关 torsor

我们从几何观点研究交换环上的例外 Jordan 代数及相关的例外群概形，利用适当的 torsor 来参数化并解释经典及新的构造，并证明在环上它们给出不同构的结构。我们首先证明 Albert 代数的同位素是作为某个总空间为 $\mathrm E_6$ 型群的 $\mathrm F_4$-torsor 的扭曲而得到的，并由此说明环上的 Albert 代数一般允许非同构的同位素，即使在分裂情形也不同于域上的情形。接着我们考虑由约化 Albert 代数构造的某些 $\mathrm D_4$-torsor，并说明它们如何产生一类由二次型合成构造的广义约化 Albert 代数。通过说明该 torsor 非平凡，我们得出结论：Albert 代数并不能唯一确定其底层的合成，即使在分裂情形也是如此。类似地，我们证明一个给定的约化 Albert 代数可以容许两个非同构且具非等距二次型的坐标代数，这在强意义上与 Albert 和 Jacobson 所建立的域上情形相反。