$\mathbb{S}^2$上Jordan曲线的曲线缩短流演化

在本文中我们证明，如果$\gamma$是$\mathbb{S}^2$上的一条Jordan曲线，则存在定义在$(0,T)$上的光滑曲线缩短流，当$t\to 0^+$时在$\mathcal{C}^0$中收敛于$\gamma$。另一种视角是$\gamma$的水平集流是光滑的。这是对作者先前研究平面情形的工作的推广。如果$\mathbb{S}^2$上的Jordan曲线具有勒贝格测度零，则我们证明水平集流立即变为光滑闭曲线。如果勒贝格测度为正，则在短时间内水平集流是具有光滑边界的环域。这第二种情况应被解释为唯一性的失败。如同平面情况，证明中的关键步骤是建立光滑曲线的长度估计，该估计依赖于称为$r$-重数的几何量。本文大部分内容涉及将此长度估计推广到$\mathbb{S}^2$。