强偏曲域上不变 Szegő 度量

Fefferman--Szegő 度量 $g_{\operatorname{FS}}^\Omega$ 是定义在 $C^\infty$-光滑的有界强偏曲域 $\Omega\subset\mathbb C^n$ 上的一个不变度量, 其通过 Fefferman 表面测度定义。对于该度量, 我们首先建立其 $L^2$-Dolbeault 余弦在中间次数之外的消失: $\dim H^{p,q}_2(\Omega)=0$ 当 $p+q\ne n$, 而 $\dim H^{p,q}_2(\Omega)=\infty$ 当 $p+q=n$。我们还证明该度量具有 $C^\infty$-有界几何。利用这一分析性质, 我们获得了若干刚性结果。特别地, 若 Fefferman--Szegő 度量为梯度 Kahler--Ricci 脉动, 则 $\Omega$ 与单位球 $\mathbb B^n$ 是 biholomorphic 的。此外, 若该度量具有常数标量曲率, 则它是 Einstein 度量, 同样 $\Omega$ 与 $\mathbb B^n$ 是 biholomorphic 的。我们还给出基于 Fefferman--Szegő 不变函数的 Ramadanov 型判据。最后, 在维数 $n=2$ 时, 假设存在将边界传递到边界的 Kahler 浸入映射, 我们证明 Fefferman--Szegő 核的对数项以无穷阶消失。因此, 边界在局部为球形; 如果进一步假设 $\Omega$ 单连通, 则 $\Omega$ 与 $\mathbb B^2$ 是 biholomorphic 的。