$\mathbb{C}^n$ 中强伪凸域上的 Narasimhan--Simha 型度量

对于 bounded 域 $D \subset \mathbb{C}^n$，令 $K_D = K_D(z) > 0$ 表示对角线上的 Bergman 核，并考虑 $D$ 上关于权 $K_D^{-d}$ 平方可积的全纯函数构成的再生核 Hilbert 空间，其中 $d \geq 0$ 为整数。相应的加权核 $K_{D, d}$ 在双全纯映射下适当变换，从而在 $D$ 上产生一个不变的 Kähler 度量。因此，存在这样一族度量，从对应于 $d=0$ 情形的经典 Bergman 度量开始。本文试图以研究 Bergman 度量大致相同的方式来研究这类度量，以期识别该族共有的性质。当 $D$ 为强伪凸时，利用缩放原理得到这些度量及其若干相关不变量的边界渐近性。结果表明，所有这些度量在强伪凸域上都是完备的。