Fock-Bargmann-Hartogs 域上的平衡度量

$\mathbb{C}^{n+m}$ 中的 Fock-Bargmann-Hartogs 域 $D_{n,m}(\mu)$ ($\mu>0$) 由不等式 $\|w\|^2<e^{-\mu\|z\|^2}$ 定义，其中 $(z,w)\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^m$，它是 $\mathbb{C}^{n+m}$ 中的无界非双曲域。本文在 $D_{n,m}(\mu)$ 上引入了一个 K"{a}hler 度量 $\alpha g(\mu;\nu)$ $(\alpha>0)$，其中 $g(\mu;\nu)$ 是与 $D_{n,m}(\mu)$ 上的 K"{a}hler 势 $\Phi(z,w):=\mu\nu{\Vert z\Vert}^{2}-\ln(e^{-\mu{\Vert z\Vert}^{2}}-\Vert w\Vert^2)$ ($\nu>-1$) 相关联的 K"{a}hler 度量。本文的目的有两个。首先，我们得到了在 $(D_{n,m}(\mu), g(\mu;\nu))$ 上带权重 $\exp\{-\alpha \Phi\}$ ($\alpha>0$) 的平方可积全纯函数的加权 Hilbert 空间的 Bergman 核的显式公式。其次，利用 Bergman 核的显式表达式，我们得到了域 $D_{n,m}(\mu)$ 上的度量 $\alpha g(\mu;\nu)$ $(\alpha>0)$ 为平衡度量的充要条件。因此我们获得了一类 Fock-Bargmann-Hartogs 域上平衡度量的存在性。