Cartan-Hartogs 域上 Bergman 函数展开式的前两个系数

设 $\phi$ 为定义域 $\Omega\subset \mathbb{C}^d$ 上整体定义的实 K"{a}hler 势，$g_{F}$ 为 Hartogs 域 $M=\{(z,w)\in \Omega\times\mathbb{C}^{d_0}: \|w\|^2<e^{-\phi(z)}\}$ 上由 K"{a}hler 势 $\Phi_{F}(z,w)=\phi(z)+F(\phi(z)+\ln\|w\|^2)$ 关联的 K"{a}hler 度量。首先，我们得到 Hartogs 域 $( M,g_F)$ 在动量剖面 $\varphi$ 下 Bergman 函数展开式系数 $\mathbf{a}_j\;(j=1,2)$ 的显式公式。其次，利用 $\mathbf{a}_j\;(j=1,2)$ 的显式表达式，我们得到系数 $\mathbf{a}_j\;(j=1,2)$ 为常数的充要条件。最后，我们得到 Cartan-Hartogs 域上所有使得其 Bergman 函数展开式系数 $\mathbf{a}_j\; (j=1,2)$ 为常数的不变完备 K"{a}hler 度量。