某些有界对称域上 Hartogs 域的 Kähler-Einstein 度量

我们研究 Hartogs 域 $\widetilde {\Omega}$ 的完备 K\"{a}hler-Einstein 度量，该域由不可约有界对称域 $\Omega$ 通过 $\Omega$ 的泛型范数之幂 $N^{\mu}$ 膨胀而得到。K\"{a}hler-Einstein 度量的生成函数满足带边界条件的复 Monge-Amp\`{e}re 方程。域 $\widetilde {\Omega}$ 一般不是齐性的，但它有一个自同构子群，其轨道由 $X\in\lbrack0,1[$ 参数化。这使得可将 Monge-Amp\`{e}re 方程化为带极限条件的常微分方程。该方程可在 $\mu$ 的特殊值 $\mu_{0}$（称为临界指数）处显式求解。我们对两个例外对称域给出了详细计算。该临界指数似乎也与其他不变度量（如 Bergman 度量）的性质相关；我们提出一个猜想，并对例外域证明了该猜想。