关于 Cartan-Hartogs 域上的典范度量

Cartan-Hartogs 域被定义为一类定义在不可约有界对称域上的 Hartogs 型域。本文目的有二。首先，对于赋予典范度量 $g(\mu)$ 的 Cartan-Hartogs 域 $\Omega^{B^{d_0}}(\mu)$，我们获得了加权 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_{\alpha}$ 的 Bergman 核的显式公式，该空间由 $(\Omega^{B^{d_0}}(\mu), g(\mu))$ 上平方可积的全纯函数组成，权重为 $\exp\{-\alpha \varphi\}$（其中 $\varphi$ 是 $g(\mu)$ 的全局定义的 K"{a}hler 势），适用于 $\alpha>0$；此外，我们给出了 $(\Omega^{B^{d_0}}(\mu), g(\mu))$ 的 Rawnsley $\varepsilon$-函数展开式的显式表达式。其次，利用 Rawnsley $\varepsilon$-函数展开式的显式表达式，我们证明了 Cartan-Hartogs 域 $(\Omega^{B^{d_0}}(\mu), g(\mu))$ 的 Rawnsley $\varepsilon$-函数展开式系数 $a_2$ 在 $\Omega^{B^{d_0}}(\mu)$ 上为常数，当且仅当 $(\Omega^{B^{d_0}}(\mu), g(\mu))$ 双全纯等距于复双曲空间。因此，我们对 M. Zedda 提出的一个猜想给出了肯定的回答。