Fock-Bargmann-Hartogs 域上加权伯格曼投影的 $L^{p}$ 正则性

Fock-Bargmann-Hartogs 域 $D_{n, m}(\mu)$ 定义为 $$D_{n, m}(\mu):=\{(z, w)\in\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}^m:\Vert w \Vert^2<e^{-\mu\Vert z \Vert^2}\},$$ 其中 $\mu>0$。Fock-Bargmann-Hartogs 域 $D_{n, m}(\mu)$ 是具有光滑实解析边界的无界强伪凸域。本文中，我们首先计算 $D_{n, m}(\mu)$ 关于权 $(-\rho)^{\alpha}$ 的加权伯格曼核，其中 $\rho(z,w):=\|w\|^2-e^{-\mu \|z\|^2}$ 是 $D_{n, m}(\mu)$ 的定义函数且 $\alpha>-1$。然后，对 $p\in [1,\infty)$，我们证明相应的加权伯格曼投影 $P_{D_{n, m}(\mu), (-\rho)^{\alpha}}$ 在 $L^p(D_{n, m}(\mu), (-\rho)^{\alpha})$ 上无界，除平凡情形 $p=2$ 外。特别地，本文给出了一个无界强伪凸域的例子，其普通伯格曼投影在 $p\in [1,\infty)\setminus\{2\}$ 时是 $L^p$ 不正则的。该结果与有界强伪凸域上著名的 $L^p$ 正则性正结果完全不同。