Hartogs 域的黎曼几何

设$D_F =\{(z_0, z) \in {\C}^{n} | |z_0|^2 < b, \|z\|^2 < F(|z_0|^2) \}$为赋予与\K 形式$\omega_F = -\frac{i}{2} \partial \bar{\partial} \log (F(|z_0|^2) - \|z\|^2)$相关联的\K 度量$g_F$的强拟凸 Hartogs 域。本文包含关于这些域黎曼几何的若干结果。在第一个结果中，我们证明了如果$D_F$通过原点且其轨迹为直线的非特殊测地线（定义见下文），则$D_F$复等距同构于复双曲空间的一个开子集。在第二个定理中，我们证明了通过$D_F$原点的所有测地线均不相交，找到了$D_F$测地完备的关于$F$的充要条件，并证明了$D_F$作为黎曼流形是局部不可约的。最后，我们在有界 Hartogs 域中比较了 Bergman 度量$g_B$和度量$g_F$，并证明了如果$g_B$是$g_F$的倍数，即$g_B=\lambda g_F$，其中$\lambda\in \R^+$，则$D_F$复等距同构于复双曲空间的一个开子集。