Kähler 锥度量空间中的测地线

本文研究 Kähler 锥度量空间 $\mathcal H_\b$ 中测地线方程的 Dirichlet 问题；该问题等价于一个边界值由具有锥奇点的 Kähler 度量构成的齐次复 Monge-Ampère 方程。我们的方法涉及将 Donaldson \cite{MR2975584} 中定义的空间推广到带边 Kähler 流形的情形；此外，我们通过规定适当的几何条件，引入 $\mathcal H_\b$ 的一个子空间 $\mathcal H_C$。我们的主要结果是边界值位于 $\mathcal H_C$ 中的 $C^{1,1}_\b$ 测地线的存在性、唯一性和正则性。此外，我们证明此类测地线是一列 $C^{2,\a}_\b$ 近似测地线在 $C^{1,1}_\b$ 范数下的极限。作为一个几何应用，我们证明了 $\mathcal H_C$ 的度量空间结构。