一类有限非交换环上的多项式函数

设 $R$ 为一个满足 $1\ne 0$ 的有限非交换环。所谓 $R$ 上的多项式函数，是指由多项式 $f=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i\in R[x]$ 通过变量 $x$ 的右代入所诱导的函数 $F\colon R\longrightarrow R$，即对每个 $a\in R$，有 $F(a)=f(a)= \sum\limits_{i=0}^{n}a_ia^i$。在本文中，我们研究具有中心基 $\{1,\beta_1,\ldots,\beta_k\}$ ($k\ge 1$) 且满足对任意 $1\le i,j\le k$ 有 $\beta_i\beta_j=0$ 的自由 $R$-代数 $R[\beta_1,\ldots,\beta_k]$ 上的多项式函数。我们的研究围绕为 $R[x]$ 中的每个多项式 $f$ 赋予一个在非交换变量 $y$ 和 $z$ 上的 $R$ 上的多项式 $\lambda_f(y,z)$ 展开；并通过 $R[x]$ 中的多项式在 $R$ 上诱导的多项式函数及其在非交换变量 $y$ 和 $z$ 上所赋予的多项式，来描述 $R[\beta_1,\ldots,\beta_k]$ 上的多项式函数。通过将交换情形的结果推广到非交换场景，我们证明了交换情形中的若干性质和定理在适当调整后可以推广到非交换情形。