多项式与有理矩阵的根向量：理论与计算

多项式矩阵 $P(\lambda)$ 的根多项式概念已在 [F. Dopico and V. Noferini, Root polynomials and their role in the theory of matrix polynomials, Linear Algebra Appl. 584:37--78, 2020] 中被深入研究。本文将这一系统性方法推广到一般有理矩阵 $R(\lambda)$，其可能奇异且可能有重合的极点/零点对。我们讨论了系数在任意域上的有理矩阵的相关理论。作为副产品，我们得到了有理矩阵 $R(\lambda)$ 的特征值与特征向量的合理定义，而无需假设 $R(\lambda)$ 具有满列秩或该特征值不是极点。随后我们专用于复域，并给出一种实用算法来计算它们，该算法基于有理矩阵 $R(\lambda)$ 的极小状态空间实现构造，然后在线性化束上使用阶梯算法计算给定点 $\lambda_0$ 处的零空间及根多项式。若 $\lambda_0$ 也是极点，则有必要应用一个预处理步骤以消除极点，同时能恢复原矩阵的根向量：此情形下，我们研究了相关理论（在一般域上）与算法实现（在复域上），仍基于极小状态空间实现。