光滑模型情形下局部zeta函数的亚纯性

已知与实解析函数相关的局部zeta函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。但在一般($C^{\infty}$)光滑函数情形下，亚纯延拓问题并不显然。事实上，近期已证明存在特定光滑函数，其局部zeta函数具有异于极点的奇点。为理解光滑情形下亚纯延拓的状况，我们考察一个简单但本质重要的情形：相应函数表示为 $u(x,y)x^a y^b +$ 平坦函数，其中 $u(0,0)\neq 0$ 且 $a,b$ 为非负整数。在将平坦函数分为四类后，我们精确研究了各情形下局部zeta函数的亚纯延拓。结果显示其中一类出现新的有趣现象。实际上，当 $a<b$ 时，局部zeta函数可亚纯延拓至半平面 ${\rm Re}(s)>-1/a$，且该半平面上的极点包含于集合 $\{-k/b:k\in\mathbb{N}$ 且 $k<b/a\}$ 中。