C^∞函数的奇点消解与局部zeta函数的亚纯性

本文尝试利用通常的爆破尽可能消解二元$C^{\infty}$函数零点的奇点。据此，我们给出一种算法，将零点局部表为“几乎”正规交叉形式，该形式接近正规交叉形式但可能包含平坦函数。作为应用，我们研究二元$C^{\infty}$函数所关联局部zeta函数的解析延拓。众所周知，Hironaka的奇点消解定理意味着实解析函数所关联的局部zeta函数可亚纯延拓至整个复平面。另一方面，近期观察到某个特定的（非实解析）$C^{\infty}$函数所关联的局部zeta函数具有不同于极点的奇性。由该观察，在$C^{\infty}$情形下自然提出如下问题：亚纯可延拓区域能有多广，以及何种信息本质上决定了该区域？本文表明，该区域可用各$C^{\infty}$函数零点的某种重数来描述。利用我们的爆破算法，只需研究几乎正规交叉情形下的局部zeta函数。此情形可借实分析方法有效分析；特别地，van der Corput型引理在判定上述区域中起着关键作用。