MHD 方程奇点形成的局部特征刻画

本文刻画了三维磁流体动力学（简称 MHD）方程解的可能爆破行为。我们首先为合适的弱解建立了 $L^{q,\infty}$ 空间中的一些 $\epsilon$-正则性准则，然后结合从 $L^{p,\infty}$ 空间到 Morrey 型空间的嵌入定理，来刻画解在潜在奇点附近的局部行为。更精确地说，我们证明如果 $z_{0}=\left(t_{0}, x_{0}\right)$ 是一个奇点，那么对于任意 $r>0$，有 $$\limsup _{t \rightarrow t_{0}^{-}}\left(\left\|u(t, x)-u(t)_{x_{0}, r}\right\|_{L^{3, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}+\left\|b(t, x)-b(t)_{x_{0}, r}\right\|_{L^{3, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}\right)>\delta^{*};$$ $$\limsup\limits _{t \rightarrow t_{0}^{-}}\left(t_{0}-t\right)^{\frac{1}{\mu}} r^{\frac{2}{\nu}-\frac{3}{p}}\|(u,b)(t)\|_{L^{p, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}>\delta^{*} \text { for } \frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}=\frac{1}{2},\,2 \leq \nu \leq \frac{2 p}{3},\, 3<p\leq\infty;$$ $$\limsup\limits _{t \rightarrow t_{0}^{-}}\left(t_{0}-t\right)^{\frac{1}{\mu}} r^{\frac{2}{\nu}-\frac{3}{p}+1}\|(\nabla u,\nabla b)(t)\|_{L^{p}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}>\delta^{*} \text { for } \frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}=\frac{1}{2},\, \nu \in\left\{\begin{array}{ll} {[2, \infty],} & p\geq 3 \ {[2, \frac{2p}{3-p}],} & \frac{3}{2}\leq p<3 \end{array}\right.$$ 其中 $\delta^{*}$ 是一个与 $\nu$ 和 $p$ 无关的正常数。