二次曲面上函数向多极子的分解

任意 d 次齐次多项式 $P(x, y, z)$,限制在单位球面 $S^2$ 上时,本质上具有唯一表示形式 $\lambda_0 + \sum_{k = 1}^d \lambda_k [\prod_{j = 1}^k L_{kj}]$,其中 $L_{kj}$ 是 $x, y, z$ 的线性形式,$\lambda_k$ 为实数。这些线性形式的系数视为三维向量时,称为 $P$ 的\emph{多极子}向量。本文考虑其他二次曲面 $Q(x, y, z) = c$(实与复)上多项式与解析函数的类似多极子表示。在复数域上,上述表示不唯一,尽管其歧义本质上是有限的。我们研究刻画此歧义的组合结构。我们将这些结果和谐分析的某些经典定理相联系,这些定理描述了函数向球调和函数之和的分解。我们将这些经典定理(依赖于我们对 Laplace 算子 $\Delta_{S^2}$ 的理解)推广到更一般的微分算子 $\Delta_Q$,后者借助二次型 $Q(x, y, z)$ 构造。随后我们引入多极子的模空间。我们利用代数几何与奇点理论的方法研究其复杂的几何与拓扑。多极子空间在向量或射影空间上分歧,而分歧集的补集产生丰富的 $K(\pi, 1)$-空间族,其中 $\pi$ 遍历各类修正辫群。