多面体、霍普夫代数与拟对称函数

在本文中，我们使用霍普夫代数和拟对称函数的技术来研究组合多面体。考虑由所有组合多面体生成的自由阿贝尔群 $\mathcal{P}$。该群上有两个由多面体的直积 $\times$ 和连接和 $\divideontimes$ 定义的自然双线性运算。$(\mathcal{P},\times)$ 是一个交换结合的双分次多项式环，而 $\mathcal{RP}=(\mathbb Z\varnothing\oplus\mathcal{P},\divideontimes)$ 是一个交换结合的三分次多项式环。环 $\mathcal{RP}$ 具有分次霍普夫代数的结构。结果表明，$\mathcal{P}$ 在 $\mathcal{RP}$ 上具有自然的霍普夫余模结构。将多面体映射到其所有 $(n-k)$ 维面之和的面算子 $d_k$ 在两个环上定义了普遍莱布尼茨-霍普夫代数 $\mathcal{Z}$ 上的霍普夫模结构。该结构给出了一个环同态 $\R\to\Qs\otimes\R$，其中 $\R$ 是 $\mathcal{P}$ 或 $\mathcal{RP}$。将此同态与 $\mathcal{P}$ 的特征标 $P^n\to\alpha^n$、$\mathcal{RP}$ 的特征标 $P^n\to\alpha^{n+1}$ 以及余单位复合，我们得到环同态 $f\colon\mathcal{P}\to\Qs[\alpha]$、$f_{\mathcal{RP}}\colon\mathcal{RP}\to\Qs[\alpha]$ 和 $\F^*:\mathcal{RP}\to\Qs$，其中 $F$ 是埃伦伯格变换。我们用函数方程描述了这些同态的像，证明了这些像是 $\mathbb Q$ 上的多项式环，并找到了像、同态和霍普夫余模结构之间的关系。对于每个同态 $f$、$f_{\mathcal{RP}}$ 和 $\F$，两个多面体的像相等当且仅当它们具有相同的旗 $f$-向量。因此，像上的代数结构提供了关于多面体旗 $f$-向量的信息。