多面体环、拟对称函数与斐波那契数

本文研究组合凸多面体的环$\mathcal{P}$。我们引入由算子$d_k$生成的算子代数$\mathcal{D}$，该算子将$n$维多面体$P^n$映射到其所有$(n-k)$维面的和。结果表明，$\mathcal{D}$同构于具有对映体$\chi(d_k)=(-1)^kd_k$的泛Leibnitz-Hopf代数。利用算子$d_k$，我们构建了广义$f$-多项式，这是一个从$\mathcal{P}$到系数在$\mathbb Z[\alpha]$中的拟对称函数环$\Qsym[t_1,t_2,...][\alpha]$的环同态。两个多面体的像相同当且仅当它们的旗$f$-向量相等。我们描述了该同态在整数环上的像，并证明在有理数域上它是一个自由多项式代数，其第$n$次分次分量的维数等于第$n$个斐波那契数。这给出了斐波那契数列作为无穷乘积的表示。该同态在由Bayer和Billera引入的生成凸多面体旗$f$-向量线性张成的分次群$BB$上是同构的。这赋予了群$BB$一个与$f(\mathcal{P})$同构的环结构。我们证明多面体环在偏序集的Rota-Hopf代数上具有自然的Hopf余模结构。作为推论，我们构建了一个环同态$l_{\alpha}\colon\mathcal{P}\to\mathcal{R}[\alpha]$，使得$F(l_{\alpha}(P))=f(P)^*$，其中$F$是Ehrenborg拟对称函数。