算术函数的卷积环与对称多项式
数论
2010-09-13 v1
摘要
受Rearick（1968）的启发，我们引入了两个新算子，LOG和EXP。LOG算子作用于广义斐波那契多项式，得到广义卢卡斯多项式。EXP是LOG的逆算子。特别地，LOG将广义斐波那契多项式的卷积积转化为广义卢卡斯多项式的和，而EXP则将和转化为卷积积。我们利用这一结构在算术函数中建立了对数与指数的理论，从而为卷积积下的乘法函数群与加法下的加法函数群同构这一事实提供了另一个证明。双曲三角函数以通常的方式由EXP算子构造而成。通常的双曲三角恒等式成立。我们在等压环中展示了新的结构和恒等式。给定一个首一多项式，其无穷伴随矩阵可以嵌入到加权等压多项式群中。该首一多项式及其伴随矩阵的导数给出了差分矩阵和无穷差分矩阵。差分矩阵的行列式（可能相差一个符号）就是该首一多项式的判别式。事实上，作用于无穷伴随矩阵的LOG算子就是无穷差分矩阵。我们证明了一个算术函数是局部可表示的当且仅当它是一个乘法函数。如果一个算术函数是平凡地全局可表示的，那么它既是局部可表示的也是全局可表示的。
引用
@article{arxiv.1009.1892,
title = {The Convolution Ring of Arithmetic Functions and Symmetric Polynomials},
author = {Huilan Li and Trueman MacHenry},
journal= {arXiv preprint arXiv:1009.1892},
year = {2010}
}