与量子正交群相关的量子欧几里得空间上的调和多项式

本文旨在研究量子欧几里得空间 E^N_q 上的调和多项式，该空间由元素 x_i, i=1,2,...,N 生成，量子群 SO_q(N) 在其上作用。调和多项式定义为方程 \Delta_q p=0 的解，其中 p 是 x_i, i=1,2,...,N 的多项式，q-Laplace 算子 \Delta_q 由 E^N_q 上的微分算子确定。构造了投影算子 H_m: {cal A}_m\to {\cal H}_{m}，其中 {\cal A}_{m} 与 {\cal H}_m 分别为 m 次齐次多项式空间与齐次调和多项式空间。利用这些投影算子，构造了关于量子子群 SO_q(N-2) 的古典带状多项式与相伴球多项式的 q-类似。相伴球多项式构成 {\cal H}_m 的一组正交基。这些多项式表示为依赖于 q-半径以及 x_j, x_{j'}, j'=N-j+1 的多项式的乘积。该表示实际上是古典变量分离的 q-类似。对偶对 (U_q(sl_2), U_q(so_n)) 关联到 SO_q(N) 在 E^N_q 上的作用。给出了由该代数在 E^N_q 上所有多项式空间上的作用定义的代数 U_q(sl_2)\times U_q(so_n) 表示的不可约分支分解。