将二次曲面上的函数分解为多极子

任何 $d$ 次齐次多项式 $P(x, y, z)$ 在限制到单位球面 $S^2$ 上时，本质上允许一个形如 $\lambda + \sum_{k = 1}^d [\prod_{j = 1}^k L_{kj}]$ 的唯一表示，其中 $L_{kj}$ 是 $x, y$ 和 $z$ 的线性形式，$\lambda$ 是一个实数。这些线性形式的系数，被视为三维向量，称为 $P$ 的多极子向量。在本文中，我们考虑了在其他二次曲面 $Q(x, y, z) = c$（实数和复数）上多项式和解析函数的类似多极子表示。在复数域上，上述表示并不唯一，尽管其模糊性本质上是有限的。我们研究了描述这种模糊性的组合学。我们将这些结果与调和分析的一些经典定理联系起来，这些定理描述了将函数分解为球谐函数和的方法。我们将这些经典定理（它们依赖于我们对拉普拉斯算子 $\Delta_{S^2}$ 的理解）扩展到更一般的微分算子 $\Delta_Q$，这些算子是利用二次型 $Q(x, y, z)$ 构造的。然后，我们引入了多极子的模空间。我们使用代数几何和奇点理论的方法研究了它们复杂的几何和拓扑。多极子空间分歧覆盖在向量空间或射影空间上，分歧集的补集产生了一个丰富的 $K(\pi, 1)$-空间族，其中 $\pi$ 遍历各种修正的辫子群。