涉及最大公约数的算术函数之和

令 $\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$ 为正整数 $d_{1},\ldots,d_{k}$ 的最大公约数,对任意整数 $k\geq 2$;令 $\tau$ 和 $\mu$ 分别表示除数函数和 Möbius 函数。对任意算术函数 $g$、任意实数 $x>5$ 和任意整数 $k\geq 3$,我们定义和式 $$S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k}))$$ 本文给出 $k\geq 3$ 时 $S_{\tau,k}(x)$ 和 $S_{\mu,k}(x)$ 的渐近公式。