除数函数下两光滑平方和之渐近公式

若自然数 $n$ 的最大素因子不超过 $y$，则称 $n$ 为 $y$-光滑数。设 $s_{1}$ 与 $s_{2}$ 为 $y$-光滑数。我们考虑二元 Titchmarsh 除数问题的光滑平方和，并对 $(\log x)^{K}\le y<x^{\frac{1}{2}}$（其中 $K$ 足够大）给出 $\sum_{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\le x}\tau(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1)$ 的渐近公式。