关于三重除数函数与自身的相关性

令 $\zeta^k(s) = \sum_{n=1}^\infty \tau_k(n) n^{-s}, \Re s > 1$。我们给出关于三元加性相关和 $$\sum_{n\le X} \tau_3(n) \tau_3(n+h),\quad (h\ge 1),$$ 的三个条件性结果，并对我们的方法给出数值验证。第一是在假设三重除数函数 $\tau_3(n)$ 在算术级数中的平均分布水平达到三分之二的条件下，对上述相关和在任何合数位移 $1 \le h \le X^{2/3}$ 下的完整主项的条件性证明。第二是该相关和的首阶主项渐近式的条件性推导，同样适用于任何合数位移 $1 \le h \le X^{2/3}$。第三个结果给出了在特例 $h=1$ 下由我们的方法和 delta 方法得到的完整主项多项式的完整展开，表明二者答案一致。我们的方法本质上是初等的，尤其在 $h=1$ 情形，利用同余，并且如前所述，给出了与 Conrey 和 Gonek [Duke Math. J. 107 (3) 2002] 先前的预测、Ng 和 Thom [Funct. Approx. Comment. Math. 60(1) 2019] 先前计算的结果以及 Tao 未发表的概率启发式论证相同的答案。我们的过程具有一般性，可对任何形如 $\sum_{n\le X} \tau_k(n) f(n+h)$ 的相关和、任何合数位移 $h$ 以及广泛一类算术函数 $f(n)$ 给出带幂次节省误差项的完整主项。