形如$k+f(k)$的数

对于函数$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$，令 $$N^+_f(x)=\{n\leq x: n=k+f(k) \mbox{ 对某个 } k\}.$$ 令$\tau(n)=\sum_{d|n}1$为除数函数，$\omega(n)=\sum_{p|n}1$为素因子个数函数，$\varphi(n)=\#\{1\leq k\leq n: \gcd(k,n)=1 \}$为欧拉 totient 函数。我们证明 \begin{align*} &(1) \quad x \ll N^+_{\omega}(x), \\ &(2) \quad x\ll N^+_{\tau}(x) \leq 0.94x, \\ &(3) \quad x \ll N^+_{\varphi}(x) \leq 0.93x. \end{align*}