模 $n$ 下可逆平方和的计数及欧拉函数的新推广

在本文中，我们引入并研究了一族算术函数 $\Phi_k$，它们推广了欧拉函数。这些函数由方程 $\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$ 的解的个数给出，其中 $x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$；对于 $k=2,4$ 和 $8$，它们分别对应于 ${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$ 上高斯整数环、四元数环和八元数环中的单位元个数。我们证明了对于任意 $k$，$\Phi_k$ 都是乘性函数，获得了用 $n$ 的素数幂分解表示的 $\Phi_k(n)$ 的显式公式，并推导了 $\sum_{n\le x} \Phi_k(n)$ 的渐近公式。作为工具，我们研究了计数方程 $x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv \lambda$ (mod $n$) 解的个数的乘性算术函数，其中 $\lambda$ 与 $n$ 互素，从而扩展了仅处理素数 $n$ 情况的旧结果。