关于费马素数的幂次的欧拉全函数迭代求和

欧拉全函数 $\phi(n)$ 在数论中占据核心位置，并在密码学等领域得到应用。本文研究欧拉全函数的迭代。我们首先证明，对任意整数 $n>2$，反复应用 $\phi$ 最终会得到值 $2$。在这一终端行为的启发下，我们检查形如 $\phi(n)+\phi(\phi(n))+\phi(\phi(\phi(n)))+\cdots+\phi(2)$ 的迭代全函数求和，其中求和在 $\phi(2)$ 处终止。我们证明，对所有形式为 $n = 3^k$ 的整数，该和等于 $n$。随后我们将此结果推广到所有费马素数的幂次，推导出相应求和的闭式表达式。