使用 Dedekind 和数关于 Spence 公式的证明

1963 年，Edward Spence 发表了下列公式的证明：设 $\phi$ 为 Euler totient function，若 $n>1$ 为整数，且 \begin{equation*} 0<a_1<\cdots<a_{\phi(n)}<n, \end{equation*} 为小于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数，则 \begin{equation*} \sum_{j=1}^{\phi(n)}ja_j = \frac{\phi(n)}{24}\left(8n\phi(n)+6n+2\phi(m)(-1)^{\omega(m)}-2^{\omega(m)}\right), \end{equation*}其中 $m$ 为 $n$ 的平方自由部分，$\omega(m)$ 为 $m$ 的素因子个数。Spence 的证明依赖于对 Nagell 的 totient function 的一个巧妙观察。1971 年，Lucien Van Hamme 提出了另一种使用 Fourier 分析和 1968 年 Hubert Delange 之前工作的证明方法。本文提出了另一种使用 Dedekind 和数 reciprocity law 的证明方法。如果该公式本身具有兴趣，也可用于分析 $a_j$ 的分布，如 Hubert Delange 的工作所建议。