二次多项式取值上除数函数平均的显式渐近公式

设 $F({\bf x})={\bf x}^tQ_{\bf x}+\mathbf{b}^t{\bf x}+c\in\mathbb{Z}[{\bf x}]$ 为 $\ell (\ge 3 )$ 个变量 ${\bf x} =(x_{1},...,x_{\ell})$ 上的二次多项式，其中当 ${\bf x}\in\mathbb{R}_{\ge 1}^{\ell}$ 时 $F({\bf x})$ 为正，$Q\in {\rm M}_{\ell}(\mathbb{Z})$ 为 $\ell\times\ell$ 矩阵且其判别式 $\det\left(Q^t+Q\right)\neq 0$。本文给出了以下和式的显式渐近公式 $$\sum_{{\bf x}\in [1,X]^{\ell}\cap\mathbb{Z}^{\ell}}\tau\left(F({\bf x})\right),$$ 其中 $\tau$ 为除数函数。