算术函数的 GCD 与 LCM 的 $k$ 维球面和求和估计

设 $k\ge 2$ 为固定整数。我们考虑形如 $\sum_{n_1^2+\cdots+ n_k^2\le x} F(n_1,\ldots,n_k)$ 的和式，求和取遍 $k$ 维球形区域 $\{(n_1,\ldots,n_k)\in {\Bbb Z}^k: n_1^2+\cdots+ n_k^2\le x\}$，其中 $F:{\Bbb Z}^k\to {\Bbb C}$ 为给定函数。特别地，我们推导出球面和 $\sum_{n_1^2+\cdots+ n_k^2\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$ 与 $\sum_{n_1^2+\cdots+ n_k^2\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$ 的带余项渐近公式，涉及整数 $n_1,\ldots,n_k$ 的最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM），其中 $f:{\Bbb N}\to {\Bbb C}$ 属于某些函数类。