二元二次型取值中因子个数的计数

对于固定的自然数 $h$，我们证明了二变量 Dirichlet 级数 $\sum_m r_2(m) \sigma_w(m + h) (m + h)^{-s + w}$ 到 $\mathbb{C}^2$ 的亚纯延拓，并由此得到 $\sum_{m^2 + n^2 \leq X} \sigma_w(m^2 + n^2 + h)$ 的渐近式。我们通过谱理论来实现这一延拓。我们的结果可与 Bykovskii 早先的工作相比较，后者使用了不同的方法来研究求和 $\sum_{n^2 \leq X} \sigma_w(n^2 + h)$。