关于 Hayman 方程的超越亚纯解

我们给出二阶微分方程 \begin{equation}\tag{\dag} w''w-w'^2+a w'w+b w^2=\alpha w+\beta w'+\gamma, \end{equation} 的超越亚纯解形式的完整刻画，其中 $a$、$b$、$\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 均为有理函数。结合 Wiman--Valiron 理论，我们进而证明方程 $(\dag)$ 的任意超越亚纯解 $w$ 的超阶 $\varsigma(w)\leq n$，其中 $n\geq 0$ 为某整数。此外，若 $w$ 具有有限阶 $\sigma(w)$，则 $2\sigma(w)$ 为正整数；若 $\beta\equiv\gamma\equiv0$ 且 $w$ 具有无穷阶，或若 $\gamma\not\equiv0$ 且 $w$ 具有无穷阶，则超阶 $\varsigma(w)$ 为正整数。