全非线性 Loewner-Nirenberg 问题：Liouville 定理与局部边界估计的反例

本文给出关于正粘性解 $w$ 对形式为 \begin{align}\label{ab}\tag{$*$}\begin{cases} f(\lambda(-A_w)) = \frac{1}{2}, \quad \lambda(-A_w)\in\Gamma & \text{in }\mathbb{R}_+^n \newline w = 0 & \text{on }\partial\mathbb{R}_+^n, \end{cases} \end{align} 的 conformally invariant 方程的完整分类，其中 $A_w$ 为度量 $g_w = w^{-2}|dx|^2$ 的 Schouten 张量，$\Gamma\subset\mathbb{R}^n$ 为对称凸锥，$f$ 为关联定义函数，满足标准假设。解 \eqref{ab} 给出负曲率类型的度量 $g_w$，其在 $\partial\mathbb{R}_+^n$ 附近局部完备。特别地，当 $(f,\Gamma) = (\sigma_1,\Gamma_1^+)$ 时，\eqref{ab} 为上半空间中的 Loewner-Nirenberg 问题。更准确地说，设 $\mu_\Gamma^+$ 表示唯一常数，满足 $(-\mu_\Gamma^+, 1,\dots,1)\in\partial\Gamma$。我们证明当 $\mu_\Gamma^+ >1$（例如当 $\Gamma = \Gamma_k^+$ 且 $k<\frac{n}{2}$ 时），双曲解 $w^{(0)}(x) := x_n$ 为 \eqref{ab} 的唯一解。更令人惊讶的是，我们证明当 $\mu_\Gamma^+ \leq 1$（例如当 $\Gamma = \Gamma_k^+$ 且 $k\geq\frac{n}{2}$ 时），解的集合由一个单调递增的单参数族 $\{w^{(a)}(x_n)\}_{a\geq 0}$ 组成，其中双曲解 $w^{(0)}$ 为最小解。在任一情况下，\eqref{ab} 的解都是 $x_n$ 的函数。我们的证明涉及对移动球方法的新颖应用，我们必须在 $\partial\mathbb{R}_+^n$ 附近建立新的估计和正则性，然后进行微妙的 ODE 分析。作为应用，我们给出当 $\mu_\Gamma^+ \leq 1$ 时，完全非线性 Loewner-Nirenberg 问题解的局部边界 $C^0$ 估计的反例。