$\mathbb{R}$ 上非局部 Liouville 方程的唯一性

我们证明了非局部 Liouville 方程 (-\Delta)^{1/2} w = K e^w \quad \mbox{in $\mathbb{R}$} 在有限总 $Q$-曲率 $\int_{\mathbb{R}} K e^w \, dx< +\infty$ 下解的唯一性。此处预设的 $Q$-曲率函数 $K=K(|x|) > 0$ 为一个满足适当正则性与衰减界的正的对称递减函数。特别地，我们在高斯情形 $K(x) = \exp(-x^2)$ 下获得了解的唯一性。我们的唯一性证明利用了非局部 Liouville 方程与 Calogero--Moser 导数 NLS 基态孤子之间的联系，后者是由 P. G\'erard 与本文第二作者最近研究的一个完全可积 PDE。