非局部 Liouville 方程在 $\mathbb{R}$ 中的解非唯一性及其应用

我们构造了非局部 Liouville 方程 \begin{equation} \label{eqk} \tag{L} (-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = K(x) e^u \quad \mbox{ in } \mathbb{R}. \end{equation} 的多个解。更确切地说，对于形如 $K(x) = 1+\varepsilon \kappa(x)$ 且 $\varepsilon \in (0,1)$ 较小、$\kappa \in C^{1,\alpha}(\mathbb{R}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R})$（其中某 $\alpha > 0$）的 $K$，我们证明了从气泡分叉出的方程 \eqref{eqk} 多个解的存在性。这些解给出了半平面中具有边界上指定测地曲率 $K(x)$ 的平坦度量的例子。此外，它们意味着 Calogero-Moser 导数 NLS 的多个基态孤子解的存在。