一类非局部刘维尔型方程的爆裂解

我们考虑非局部刘维尔型方程 $$(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = \varepsilon \kappa(x) e^u, \quad u > 0, \quad \mbox{in } I, \qquad u = 0, \quad \mbox{in } \mathbb{R} \setminus I,$$ 其中 $I$ 是 $d \geq 2$ 个互不相交有界区间的并，$\kappa$ 是具有正下界的光滑有界函数，$\varepsilon > 0$ 是小参数。对任意整数 $1 \leq m \leq d$，我们构造了一族解 $(u_\varepsilon)_{\varepsilon}$，其在 $I$ 的 $m$ 个内部不同点处爆裂，且 $\varepsilon \int_I \kappa e^{u_\varepsilon} \, \rightarrow 2 m \pi$，当 $\varepsilon \to 0$。此外，我们证明当 $d = 2$ 且 $m$ 适当大时，此种构造不可能存在。