半拉普拉斯非线性热方程的爆破分类与单调性公式

我们考虑非线性半拉普拉斯热方程 $$u_t+(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u-|u|^{p-1}u=0,\quad \mathbb{R}^n\times (0, T).$$ 我们证明所有爆破均为 I 型，前提是 $n \leq 4$ 且 $1<p<p_{*} (n)$，其中 $p_{*} (n)$ 是一个显式指数，低于临界 Sobolev 指数 $\frac{n+1}{n-1}$。我们证明的核心在于半拉普拉斯的 Giga-Kohn 型单调性公式以及自相似非线性热方程的 Liouville 型定理。这是在非局部方程层面上（无需借助到半空间的延拓）得到单调性公式的首个实例。