Euler-Poincaré 方程的爆破、零 α 极限与 Liouville 型定理

本文研究 $\Bbb R^N$ 中的 Euler-Poincaré 方程。我们证明了弱解在 $W^{2,p}(\Bbb R^N),$ $p>N$ 中的局部存在性，以及唯一经典解在 $H^k (\Bbb R^N)$, $k>N/2+3$ 中的局部存在性，并给出了一个爆破准则。对于零色散方程 ($\alpha=0$)，我们证明了经典解的有限时间爆破。我们还证明，当色散参数趋于零时，弱解以锐利速率收敛到零色散方程的一个解，只要极限解属于 $C([0, T);H^k(\Bbb R^N))$ 且 $k>N/2 +3$。对于 Euler-Poincaré 方程的{\em 定态弱解}，我们证明了一个 Liouville 型定理。即，对于 $\alpha>0$，任何弱解 $\mathbf{u}\in H^1(\Bbb R^N)$ 均为 $\mathbf{u}=0$；对于 $\alpha=0$，任何弱解 $\mathbf{u}\in L^2(\Bbb R^N)$ 均为 $\mathbf{u}=0$。