Euler-Arnold 方程爆裂的 Liouville 比较理论

本文中,我们为 $\mathbb R^n$ 上的(广义)Euler-Arnold 方程引入了一种新的爆裂判据。我们的方法基于在拉格朗日坐标下处理该方程,此时它是微分同胚群上的一个 ODE,并与 Liouville 方程进行比较;与通常在单点处的比较方法不同,我们在无穷维函数空间中应用比较。由此我们证明了解的拉格朗日流映射的雅可比在有限时间内达到零,这对应于速度场解的 $C^1$ 爆裂。我们通过证明某些高维($n\geq 3$)EPDiff 方程高阶版本的光滑解发生爆裂,展示了我们结果的适用性。先前关于高维 EPDiff 方程爆裂的结果仅针对几何描述对应于零阶或一阶 Sobolev 度量的版本。在这些情形下,行为不依赖于维数,因此一维版本的解已表现出爆裂。本文证明了即便在一维方程具有全局解的情形下(如对应于二阶 Sobolev 度量的 EPDiff 方程)也会发生爆裂。