次临界 EPDiff 方程光滑解的破裂

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 上的 EPDiff 方程，带有整数阶齐次 Sobolev 惯性算子 $A=(-\Delta)^k$。我们证明，对于任意径向初始数据及初始动量的一个符号条件，只要 $0\le k<n/2+1$，相应的径向速度解的 $C^1$ 范数会在有限时间内破裂。我们的方法是使用 Lagrangian coordinates 将 EPDiff 表述为 Banach 空间上的 ODE，从而能够使用与 Liouville 方程的比较估计。在此过程中，我们用超几何函数导出了 Green 函数并讨论了其性质。这是朝着证明以下一般猜想迈出的一步：对于任意实数阶 $k$ 的任意 Sobolev 惯性算子，EPDiff 方程全局适定当且仅当 $k\ge n/2+1$。