能量次临界波方程在任意给定紧集上爆裂的解

我们考虑聚焦能量次临界非线性波方程 $\partial_{tt} u - \Delta u= |u|^{p-1} u$（在 ${\mathbb R}^N$ 中，$N\ge 1$）。给定任意紧集 $E \subset {\mathbb R}^N$，我们构造了在 $t=0$ 时恰于 $E$ 上爆裂的有限能量解。该构造基于适当的 ansatz。初始 ansatz 为 $U_0(t,x) = \kappa (t + A(x) )^{ -\frac {2} {p-1} }$，其中 $A\ge 0$ 恰在 $E$ 上为零，它是常微分方程 $h'' = h^p$ 的解。我们仅利用 ODE 技术并借助（对适当选取的 $A$）空间导数相对于时间导数可忽略这一事实，归纳地改进这一初始 ansatz。我们通过能量论证和紧性方法完成证明。