1-共旋转能量超临界波映射的II型爆破解的构造

我们考虑从$\mathbb{R}^d$到$d$维球面$\mathbb{S}^d$的能量超临界波映射,其中$d \geq 7$。在额外假设1-共旋转对称性下,问题简化为一维半线性波动方程$$\partial_t^2 u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$我们为该方程构造了一族$\mathcal{C}^{\infty}$解,它们通过通用剖面的聚集在有限时间内爆破:$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{\lambda(t)}\right),$$其中$Q$是方程的驻态解,速度由量子化速率给出:$$\lambda(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}{\gamma}, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; \ell > \gamma = \gamma(d) \in (1,2].$$该构造依赖于两个论证:利用Merle、Rapha"el和Rodnianski为能量超临界非线性薛定谔方程开发的稳健通用能量方法和调制技术将问题归约为有限维问题,然后通过反证法求解有限维问题,并利用布劳威尔不动点定理得出结论。