能量临界波映射方程的无穷时间爆破解

我们考虑域为 $\mathbb{R}^{2+1}$、目标为 $\mathbb{S}^{2}$ 的波映射问题，处于 1-等变、拓扑度一的设置下。在此设置下，我们回顾孤子是 $\mathbb{R}^{2}$ 到 $\mathbb{S}^{2}$ 的调和映射，其极角为 $Q_{1}(r) = 2 \arctan(r)$。通过应用方程的伸缩对称性，$Q_{\lambda}(r) = Q_{1}(r \lambda)$ 也是调和映射，且所有此类 $Q_{\lambda}$ 的族是有限能量、1-等变、拓扑度一映射中调和映射能量的唯一极小元。在本工作中，我们沿 $Q_{\lambda}$ 族构造无穷时间爆破解。更精确地，对 $b>0$，以及对所有满足如下条件的 $\lambda_{0,0,b} \in C^{\infty}([100,\infty))$：存在 $C_{l}, C_{m,k}>0$，$$\frac{C_{l}}{\log^{b}(t)} \leq \lambda_{0,0,b}(t) \leq \frac{C_{m}}{\log^{b}(t)}, \quad |\lambda_{0,0,b}^{(k)}(t)| \leq \frac{C_{m,k}}{t^{k} \log^{b+1}(t) }, k\geq 1 \quad t \geq 100$$ 存在具有如下性质的波映射。若 $u_{b}$ 表示波映射到 $\mathbb{S}^{2}$ 的极角，我们有 $$u_{b}(t,r) = Q_{\frac{1}{\lambda_{b}(t)}}(r) + v_{2}(t,r) + v_{e}(t,r), \quad t \geq T_{0}$$ 其中 $$-\partial_{tt}v_{2}+\partial_{rr}v_{2}+\frac{1}{r}\partial_{r}v_{2}-\frac{v_{2}}{r^{2}}=0$$ $$||\partial_{t}(Q_{\frac{1}{\lambda_{b}(t)}}+v_{e})||_{L^{2}(r dr)}^{2}+||\frac{v_{e}}{r}||_{L^{2}(r dr)}^{2} + ||\partial_{r}v_{e}||_{L^{2}(r dr)}^{2} \leq \frac{C}{t^{2} \log^{2b}(t)}, \quad t \geq T_{0}$$ 且 $$\lambda_{b}(t) = \lambda_{0,0,b}(t) + O\left(\frac{1}{\log^{b}(t) \sqrt{\log(\log(t))}}\right)$$