等变波映射问题大能量解的刻画：I
偏微分方程分析
2019-03-20 v3
摘要
我们考虑从 1+2 维到 2-球面的 1-等变波映射。对于拓扑度为零的波映射，我们证明了当能量低于调和映射 Q（由球极投影给出）能量的两倍时，解具有全局存在性和散射性。我们通过第二作者与 Merle 发展的集中紧性/刚性方法推导了这一结果。特别是，我们建立了在方程的缩放对称性下轨迹在能量空间中预紧的等变波映射的分类。事实上，此类波映射在重缩放后只能是 0 或 Q。这证明了针对零度理论修正后的阈值猜想的等变情形，其中真正的阈值是 2E(Q) 而非 E(Q)。上述全局存在性和散射陈述也可以通过考虑 Sterbenz 和 Tataru 在等变设定下的工作来推导。对于拓扑度为一的波映射，我们建立了能量小于 Q 能量三倍的有限时间爆破解的分类。在此能量限制下，我们表明一度爆破解本质上是一个重缩放的 Q 加上一个拓扑度为零且能量小于 Q 能量两倍的余项。这一结果揭示了 Krieger、第四作者和 Tataru 以及 Raphael 和 Rodnianski 所构建的一度 1-等变波映射已知爆破构造的普适性。
引用
@article{arxiv.1209.3682,
title = {Characterization of large energy solutions of the equivariant wave map problem: I},
author = {Raphael Cote and Carlos Kenig and Andrew Lawrie and Wilhelm Schlag},
journal= {arXiv preprint arXiv:1209.3682},
year = {2019}
}
备注
This latest version includes an appendix by Jacek Jendrej, which fills a gap in the proof of Theorem 1.1. The previous version corrected a gap in the proof of Lemma 5.9